Глоссарий

Пусть S - некоторое множество, x - элемент S, а P - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A множества S, элементы которого удовлетворяют свойству P определяется как множество упорядоченных пар A ={m_A(х)/х}, где m_A(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству P, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из S нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства P. В связи с этим, нечеткое подмножество множества S определяется как множество упорядоченных пар A ={m_A(х)/х}, где m_A(х) - характеристическая функция (или просто функция принадлежности), принимающая значения из некоторого упорядоченного множества M=[0,1]. Функция принадлежности указывает степень (уровень) принадлежности элемента x подмножеству A . Множество M называют множеством принадлежностей. Если M={0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Иными словами, если для обычного множества на вопрос принадлежит ли ему некоторый элемент, можно ответить только «да» или «нет», то для нечеткого множества – принадлежит, но в большей или меньшей степени.

Рассмотрим множество S={x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, на котором задано нечеткое подмножество F с заданными значениями функции принадлежности: m_A(x₁)=0,2; m_A(x₂)=0,5; m_A(x₃)=0,7; m_A(x₄)=0; m_A(x₅)=1.

Можно сказать, что элемент x₅ полностью принадлежит нечеткому множеству F, элемент x₂ только наполовину, а элемент x₄ совсем ему не принадлежит. Тогда само нечеткое множество F может быть записано в виде:

F={0,2/x₁; 0,5/x₂; 0,7 /x₃; 0/x₄, 1/x₅}

или

F=0,2/x₁+0,5/x₂+ 0,7 /x₃+0/x₄+ 1/x₅,

где «+» означает операцию объединения. Существуют и другие способы записи нечетких множеств, например, табличные.

Рассмотрим простой пример. Пусть задано множество S={Жигули, Рено, Мерседес,…} марок автомобилей и множество S’, определяющее цену автомобиля. Тогда на множестве S’ мы можем определить нечеткие подмножества, определяющие доход владельца автомобиля типа «Высокий», «Средний», «Низкий».

Как видно из рисунка, четкая граница между множествами отсутствует. Действительно, утверждать, что если человек купил машину дороже, чем за 10 000$ то он точно имеет средний достаток, а если меньше - то низкий, нельзя. На рисунке видно, что с увеличением цены функция принадлежности для множества «Низкий» уменьшается от 1 к 0. Т.е. после некоторого значения цены уровень принадлежности к множеству «Низкий» падает до 0. В то же время после некоторого значения цены начинает возрастать уровень принадлежности к множеству «Средний» и т.д. Таким образом, можно совершить переход от строго формализованного показателя "Цена" к неформальному понятию «Уровень дохода», свойственному больше для человеческих рассуждений типа «Если у него Мерседес, то он имеет высокий доход».

На описании объектов и процессов с помощью нечетких множеств основан раздел математики, получивший название нечеткая логика. Элементы нечеткой логики в последние несколько десятилетий широко применяются при моделировании сложных систем, системах управления и анализа. В частности, в технологиях Data Mining нечеткая логика используется для решения задач прогнозирования и кластеризации, построения нечетких ассоциативных правил, нейронечетких сетей и др.